Rezolvari-Matematica
Clasa a VI-a Cap. Numere naturale - Operatii cu numere naturale - TEORIE
updated
(2p) a) Determină măsura unghiului AB′ C.
(3p) b) Determină distanța de la punctul B la planul (AB′ C). (Din Teste de antrenament - Ministerul Educației (2021 - 2022))
Distanta de la un punct la un plan este lungimea segmentului determinat de punct si piciorul perpendicularei din punct pe plan.
Pentru a calcula distanta de la punctul B la planul (AB′ C) am exprimat volumul piramidei B′ABC in doua moduri.
Volumul oricarei piramide este aria bazei ori lungimea inaltimii piramidei supra trei (Piramida este corp cu varf).
Facebook: https://www.facebook.com/RezolvariMatematicaOnline/ .
a) Calculați lungimea ipotenuzei BC, știind că AB = 6 cm și AC = 8 cm.
b) Calculați lungimea catetei AB știind că BC = 25 cm și AC = 24 cm.
c) Calculati lungimea catetei AC, știind că BC = 17 cm și AB = 15 cm.
Teorema lui Pitagora
In orice triunghi dreptunghic patratul lungimii ipotenuzei este egal cu suma patratelor lungimilor catetelor.
Reciproca Teoremei lui Pitagora
Daca intr-un triunghi dreptunghic patratul lungimii unei laturi este egal cu suma patratelor lungimilor celorlalte doua atunci triunghiul este dreptunghic. Laturile de lungime mai mica formeaza unghiul de 90 de grade. Latura mai lunga este ipotenuza.
Facebook: https://www.facebook.com/RezolvariMatematicaOnline/ .
a) S = -1 + 2 - 3 + 4 - 5 + 6 - 7 + … - 99 + 100
b) S = - 3 - 6 - 9 - 12 - … - 99.
Facebook: https://www.facebook.com/RezolvariMatematicaOnline/ .
(2p) a) Arată că MB = 2√22 cm;
(3p) b) Calculează distanța de la punctul M la dreapta de intersecție a planelor (MBN) și (ABCD). (Simulare EN - ISJ Iași - aprilie 2024)
https://youtu.be/rvO41wkfYpg - Rezolvarea punctului a).
Daca o dreapta este perpendiculara pe un plan, atunci ea este perpendiculara pe orice dreapta continuta in plan.
Diagonala patratului este egala cu latura radical din 2.
O dreapta este perpendiculara pe un plan daca este perpendiculara pe doua drepte concurente, incluse in plan.
Doua drepte perpendiculare pe o a treia dreapta sunt paralele.
Reciproca teoremei medianei: Daca intr-un triunghi lungimea unei mediane este egala cu jumatate din lungimea laturii corespunzatoare ei, atunci triunghiul este dreptunghic.
Facebook: https://www.facebook.com/RezolvariMatematicaOnline/ .
(2p) a) Arată că MB = 2√22 cm;
(3p) b) Calculează distanța de la punctul M la dreapta de intersecție a planelor (MBN) și (ABCD). (Simulare EN - ISJ Iași - aprilie 2024)
https://youtu.be/6Eb7NaBQGC8 - rezolvarea punctului b)
Daca o dreapta este perpendiculara pe un plan, atunci ea este perpendiculara pe orice dreapta continuta in plan.
Diagonala patratului este egala cu latura radical din 2.
O dreapta este perpendiculara pe un plan daca este perpendiculara pe doua drepte concurente, incluse in plan.
Doua drepte perpendiculare pe o a treia dreapta sunt paralele.
Reciproca teoremei medianei: Daca intr-un triunghi lungimea unei mediane este egala cu jumatate din lungimea laturii corespunzatoare ei, atunci triunghiul este dreptunghic.
Facebook: https://www.facebook.com/RezolvariMatematicaOnline/ .
Teorema bisectoarei: Intr-un triunghi, bisectoarea unui unghi determina pe latura opusa doua segmente proportionale cu celelalte laturi.
Facebook: https://www.facebook.com/RezolvariMatematicaOnline/ .
a) AG și AM, dacă GM = 2 cm;
b) CB și BP, dacă BG = 4 cm;
c) QG și CG, dacă CQ = 15 cm.
Punctul de intersectie a medianelor unui triunghi se numeste centrul de greutate al triunghiului si se gaseste pe fiecare mediana la o treime de baza si doua treimi de varf.
Facebook: https://www.facebook.com/RezolvariMatematicaOnline/ .
a) AG și AM, dacă GM = 2 cm;
b) CB și BP, dacă BG = 4 cm;
c) QG și CG, dacă CQ = 15 cm.
Facebook: https://www.facebook.com/RezolvariMatematicaOnline/ .
Erata: La cerintele de la puncul b) CB in log de GB.
a) AG și AM, dacă GM = 2 cm;
b) GB și BP, dacă BG = 4 cm;
c) QG și CG, dacă CQ = 15 cm.
Segmentul determinat de varful unui triunghi si mijocul laturii opuse se numeste mediana triunghiului.
Intr-un triunghi pot fi construite 3 mediane. Ele sunt concurente intr-un punct numit centrul de greutate al triunghiului si se noteaza, de obicei, cu G. Centrul de greutate al unui triunghi se gaseste pe fiecare mediana la o treime de baza si doua treimi de varf.
Facebook: https://www.facebook.com/RezolvariMatematicaOnline/ .
Metoda I de rezolvare: https://youtu.be/g-BTWbgaOMc .
Facebook: https://www.facebook.com/RezolvariMatematicaOnline/ .
Daca avem o proportie, schimband mezii intre ei, obtinem o proportie derivata.
Intr-un sir de rapoarte egale, oricare doua rapoarte formeaza o proportie.
A doua metoda de rezolvare: https://youtu.be/g_xK9KZdG2o .
Facebook: https://www.facebook.com/RezolvariMatematicaOnline/ .
Determinati punctul de intersectie al graficelor celor doua functii.
Pentru a determina coordonatele punctului de intersectie al graficelor a doua functii: f(x) = g(x).
Facebook: https://www.facebook.com/RezolvariMatematicaOnline/ .
- Un punct M de coordonate x și y aparține graficului funcției f daca si numai daca f(x) = y.
- Daca graficul functiei f trece prin punctele A și B, inseamna ca punctele A si B apartin graficului functiei f.
Facebook: https://www.facebook.com/RezolvariMatematicaOnline/ .
Aria patratului = latura la puterea a doua.
Aria triunghiului dreptunghic = (cateta x cateta)/2
Facebook: https://www.facebook.com/RezolvariMatematicaOnline/ .
a) x = 240 și y = 80;
b) x = 14 și y = 28;
c) x = 5/9 și y = 25/18 .
- Raportul numerelor raționale a și b, b nenul, este câtul neefectuat al acestora scris sub forma a/b;
- Termenii raportului sunt a și b;
- Valoarea raportului este rezultatul împărțirii lui a la b.
Facebook: https://www.facebook.com/RezolvariMatematicaOnline/ .
14/(5√7)−5/(2√7−√3)=
Vom rationaliza prima fractie cu radical din 7. Scopul e sa transformam numitorul acestei fractii dintr-un numar irational intr-un numar rational.
Vom rationaliza cel de al doilea raport cu conjugatul numitorului, adica cu 2√7+√3. Daca inmultim a-b cu a+b obtinem a patrat - b patrat si astfel radicalul de la numitor dispare. Prin amplificarea cu conjugatul, transformam numitorul dintr-un numar irational intr-un numar rational.
Numerele irationale sunt fractii zecimale infinite neperiodice.
Facebook: https://www.facebook.com/RezolvariMatematicaOnline/ .
a) 7/(√5+2)
b) 8/(3√5−1)
Am amplificat fiecare raport cu conjugatul numitorului.
In cazul primului raport conjugatul numitorului √5+2 este √5-2.
In cazul celui de al doilea raport conjugatul numitorului 3√5−1 este 3√5+1.
Facebook: https://www.facebook.com/RezolvariMatematicaOnline/ .
a) 3/√5 =
b) - 6/√11 =
c) 8/(3√7) =
d) - (3√13)/(4√2) =
Scopul rationalizarii numitorului unei fractii este acela de a-l transforma dintr-un numar irational intr-un numar rational.
Facebook: https://www.facebook.com/RezolvariMatematicaOnline/ .
Teorema medianei
Intr-un triunghi dretunghic mediana corespunzatoare ipotenuzei are lungimea egala cu jumatate din lungimea ipotenuzei.
Facebook: https://www.facebook.com/RezolvariMatematicaOnline/ .
1440'=
5100'=
4680'=
1980'=
Facebook: https://www.facebook.com/RezolvariMatematicaOnline/ .
31°=
102°=
54°=
29°=
Un grad = 60 de minute.
Un minut = 60 e secunde.
Un grad = 3600 de secunde.
Facebook: https://www.facebook.com/RezolvariMatematicaOnline/ .
Facebook: https://www.facebook.com/RezolvariMatematicaOnline/ .
Triunghiul echilateral are toate laturile congruente. Unghiurile au masurile egale cu 60 de grade.
Facebook: https://www.facebook.com/RezolvariMatematicaOnline/ .
Facebook: https://www.facebook.com/RezolvariMatematicaOnline/ .
Facebook: https://www.facebook.com/RezolvariMatematicaOnline/ .
- Sinusul unui unghi este rapotul dintre lungimea catetei opuse si lungimea ipotenuzei ( cateta opusa supra ipotenuza).
- Cosinusul unui unghi este raportul dintre lungimea catetei alaturate si lungimea ipotenuzei (cateta alaturata supra ipotenuza).
- Tangenta unui unghi este raportul dintre lungimea catetei opuse unghiului si lungimea catetei alaturate unghiului (cateta opusa supra cateta alaturata).
- Cotangenta este raportul dintre lungimea catetei alaturate unghiului si lungimea catetei opuse (cateta alaturata supra cateta opusa).
Teorema unghiului de 30 de grade (Teorema 30 - 60 - 90)
Daca intr-un triunghi dreptunghic avem un unghi cu masura egala cu 30 de grade, atunci cateta care se opune acestui unghi are lungimea egala cu jumatate din lungimea ipotenuzei.
(Intr-un triunghi dreptunghic cateta care se opune unghiului de 30 de grade este jumatate din ipotenuza.)
Facebook: https://www.facebook.com/RezolvariMatematicaOnline/ .
a) Dacă AB = 4√2 cm și m(∡C) = 30°, determinați lungimea segmentului AC;
b) Dacă AC = 16√3 cm și m(∡C) = 30°, determinați lungimea segmentului AB.
Teorema unghiului de 30 de grade (Teorema 30 - 60 - 90)
Daca intr-un triunghi dreptunghic avem un unghi cu masura egala cu 30 de grade, atunci cateta care se opune acestui unghi are lungimea egala cu jumatate din lungimea ipotenuzei.
(Intr-un triunghi dreptunghic cateta care se opune unghiului de 30 de grade este jumatate din ipotenuza.)
Facebook: https://www.facebook.com/RezolvariMatematicaOnline/ .
Reciproca teoremei unghiului de 30 de grade
Daca intr-un triunghi dreptunghic lungimea unei catetet este egala cu jumatate din lungimea ipotenuzei, atunci acea cateta se opune unui unghi cu masura egala cu 30 de grade.
Teorema unghiui de 30 de grade
Intr-un triunghi dreptunghic, cateta care se opune unghiului de 30 de grade, este jumatate din ipotenuza.
Facebook: https://www.facebook.com/RezolvariMatematicaOnline/ .
- Sinusul unui unghi este rapotul dintre lungimea catetei opuse si lungimea ipotenuzei ( cateta opusa supra ipotenuza).
- Cosinusul unui unghi este raportul dintre lungimea catetei alaturate si lungimea ipotenuzei (cateta alaturata supra ipotenuza).
- Tangenta unui unghi este raportul dintre lungimea catetei opuse unghiului si lungimea catetei alaturate unghiului (cateta opusa supra cateta alaturata).
- Cotangenta este raportul dintre lungimea catetei alaturate unghiului si lungimea catetei opuse (cateta alaturata supra cateta opusa).
Teorema lui Pitagora
Patratul ipotenuzei = suma patratelor catetelor.
Facebook: https://www.facebook.com/RezolvariMatematicaOnline/ .
- Sinusul unui unghi este rapotul dintre lungimea catetei opuse si lungimea ipotenuzei ( cateta opusa supra ipotenuza).
- Cosinusul unui unghi este raportul dintre lungimea catetei alaturate si lungimea ipotenuzei (cateta alaturata supra ipotenuza).
- Tangenta unui unghi este raportul dintre lungimea catetei opuse unghiului si lungimea catetei alaturate unghiului (cateta opusa supra cateta alaturata).
- Cotangenta este raportul dintre lungimea catetei alaturate unghiului si lungimea catetei opuse (cateta alaturata supra cateta opusa).
Teorema lui Pitagora
Patratul ipotenuzei = suma patratelor catetelor.
Facebook: https://www.facebook.com/RezolvariMatematicaOnline/ .
a) 3,2+5,8 +1,4 +3,6 =
b) 4,36+8,21+1,64 +3,79 =
c) 0,312+12,49 + 2,688+5,51 = .
Cum adunam doua fractii zecimale finite?
Asezam numerele unul sub altul, virgula sub virgula, efectuam adunarea in acelasi mod ca la numerele naturale, iar la rezultatul final coboram virgula.
In unele situatii, pentru a usura calculele, daca avem de adunat mai multe fractii zecimale finite, le putem asocia convenabil.
Facebook: https://www.facebook.com/RezolvariMatematicaOnline/ .
a) 34, 5+0,41= ; b) 3,247+14,1= ; c) 8,279+54,854= ; d) 24,31+5,503= ; e) 4,7 +2,053= ; f) 34,72 +83,915= .
Cum adunam doua fractii zecimale finite?
Asezam numerele unul sub altul, virgula sub virgula, efectuam adunarea in acelasi mod ca la numerele naturale, iar la rezultatul final coboram virgula.
Facebook: https://www.facebook.com/RezolvariMatematicaOnline/ .
Cum adunam doua fractii zecimale finite?
Asezam numerele unul sub altul, virgula sub virgula, efectuam adunarea in acelasi mod ca la numerele naturale, iar la rezultatul final coboram virgula.
Facebook: https://www.facebook.com/RezolvariMatematicaOnline/ .
Cum adunam doua fractii zecimale finite?
Asezam numerele unul sub altul, virgula sub virgula, efectuam adunarea in acelasi mod ca la numerele naturale, iar la rezultatul final coboram virgula.
Facebook: https://www.facebook.com/RezolvariMatematicaOnline/ .
a) 21/4; b) 17/20; c) 94/25; d) 83/40.
Facebook: https://www.facebook.com/RezolvariMatematicaOnline/ .
Facebook: https://www.facebook.com/RezolvariMatematicaOnline/ .
Un punct M de coordonate x si y apartine graficului functiei f daca si numai daca f de x = y.
Facebook: https://www.facebook.com/RezolvariMatematicaOnline/ .
Media aritmetica a doua numere este egala cu semisuma numerelor.
Media geometrica a doua numere este egala cu radical din produsul numerelor.
Facebook: https://www.facebook.com/RezolvariMatematicaOnline/ .
(fragment din Modele de EvaluareNațională - Cl. a VIII-a - Ministerul Educației și Cercetării )
In orice cerc, la coarde egale corespund arce egale.
Masura unghiului la centru este egala cu masura arcului cuprins intre laturile sale.
Masura unghiului inscris in cerc este egala cu jumatate din masura arcului cuprins intre laturile sale.
Masura unui cerc este egala cu 360 de grade.
Facebook: https://www.facebook.com/RezolvariMatematicaOnline/ .
Măsura unghiului ACD este egală cu: ... .
Masura unghiului inscris in cerc este egala cu jumatate din masura arcului cuprins intre laturi.
Diametrul imparte cercul in doua semicercuri. Masura cercului este egala cu 360 de grade. Masura unui semicerc este egala cu 180 de grade.
Facebook: https://www.facebook.com/RezolvariMatematicaOnline/ .
În orice cerc, diametrul perpendicular pe o coardă trece prin mijlocul acelei coarde.
Teorema 2
În orice cerc, la arce congruente corespund coarde congruente.
Teorema 3
În orice cerc, la coarde congruente corespund arce congruente.
Teorema 4
În orice cerc, coardele congruente sunt egal depărtate de centrul cercului.
Teorema 5
În orice cerc, coardele egal depărtate de centrul cercului sunt congruente.
Facebook: https://www.facebook.com/RezolvariMatematicaOnline/ .
Facebook: https://www.facebook.com/RezolvariMatematicaOnline/ .
#shorts
#shortvideo
Facebook: https://www.facebook.com/RezolvariMatematicaOnline/ .
Subiect - SIMULAREA EXAMENULUI DE EVALUARE NAȚIONALĂ PENTRU ABSOLVENȚII CLASEI a VIII-a
Anul școlar 2022-2023
Matematică
1. Numărul 242 este multiplu al numărului:
a) 7
b) 11
c) 12
d) 17
1. Radu și Tudor au împreună 800 de lei. Dacă Radu i-ar da lui Tudor o cincime din suma pe care o are,
atunci cei doi copii ar avea sume egale.
(2p) a) Este posibil ca Radu sa aibă 600 de lei? Justifică răspunsul dat.
(3p) b) Află ce sumă are Tudor.
Facebook: https://www.facebook.com/RezolvariMatematicaOnline/ .
- Diagonalele dreptunghiului au același mijloc.
- Proprietatea medianei
O mediană împarte un triunghi în două triunghiuri ce au arii egale.
Diagonalele dreptunghiului impart dreptunghiul in 4 triunghiuri ce au arii egale.
Diagonalele patratului impart patratul in 4 triunghiuri ce au arii egale.
Diagonalele rombului impart rombul in 4 triunghiuri ce au arii egale.
Diagonalele paralelogramului impart paralelogramul in 4 triunghiuri ce au arii egale.
Facebook: https://www.facebook.com/RezolvariMatematicaOnline/ .
a) x + x =
b) x ⋅ x =
Facebook: https://www.facebook.com/RezolvariMatematicaOnline/ .
a/b = c/d echivalent cu a * c = b * d. (produsul extremilor = produsul mezilor)
Facebook: https://www.facebook.com/RezolvariMatematicaOnline/ .
Înălțimea într-un triunghi este segmentul determinat de un vârf al triunghiului și piciorul perpendicularei construită din acel vârf pe latura opusă.
Ortocentrul triunghiului se notează, de obicei, cu H și reprezintă punctul de intersecție a înălțimilor triunghiului.
AA' ⊥ BC
BB' ⊥ AC
CC' ⊥ AB
AA' ∩ BB' ∩ CC′= {H}
Facebook: https://www.facebook.com/RezolvariMatematicaOnline/ .
Paralelogramul cu un unghi drept se numește dreptunghi.
Patrulaterul cu laturile paralele două câte două se numește paralelogram.
Linia mijlocie a triunghiului este segmentul care uneste mijloacele a doua dintre laturi. Este paralela cu a treia latura si are lungimea egala cu jumatate din lungimea ei.
Facebook: https://www.facebook.com/RezolvariMatematicaOnline/ .
Determinati numerele naturale nenule a si b care au cel mai mare divizor comun 15 si cel mai mic multiplu comun 150.
Numere prime intre ele = au cel mai mare divizor comun = 1.
Facebook: https://www.facebook.com/RezolvariMatematicaOnline/ .